Десятичные дроби. Презентация урока: "Десятичные дроби.Чтение и запись десятичных дробей" (5 класс Математика) Чтение и запись десятичных дробей
Числа
Смешанные числа
Натуральные
Неправильные обыкновенные дроби
Правильные обыкновенные дроби
НАЗОВИТЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
НАЗОВИТЕ смешанные ЧИСЛА
НАЗОВИТЕ обыкновенные дроби
Какие числа остались?
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В
ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСИ.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.
ТЕМА СЕГОДНЯШНЕГО УРОКА:
Десятичные дроби. Чтение и запись десятичной дроби.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Ввести понятие десятичных дробей. Учить читать и записывать десятичные дроби Учить переводить обыкновенную дробь со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную и наоборот Развивать логическое мышление в новой ситуации Воспитывать самостоятельность и ответственность за собственную деятельность.
Дроби
Обыкновенные
Десятичные, дроби
Десятичные дроби.
ЗАПИСЫВАЮТСЯ
ЧИТАЮТСЯ
Десятичные
ДЕЙСТВИЯ
С ДЕСЯТИЧНЫМИ
СРАВНИВАТЬ
Если в десятичной записи числа использована запятая, то говорят, что число записано в виде десятичной дроби.
Числа со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. условились записывать без знаменателя
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ
ЗАПИШИТЕ ЧИСЛА
- ТРИ ЦЕЛЫХ СЕМЬ ДЕСЯТЫХ
- ШЕСТЬ ЦЕЛЫХ ОДНА СОТАЯ
- ПЯТЬ ЦЕЛЫХ ЧЕТЫРИ ТЫСЯЧНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ
ЗАПИШИТЕ ЧИСЛА
Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части
Целую часть отделяют от дробной части запятой
Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д.
условились записывать без знаменателя
После запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе
АЛГОРИТМ
1. ЗАПИСАТЬ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ ЧИСЛА
2. ПОСТАВИТЬ ЗАПЯТУЮ
3. ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ ПОСТАВИТЬ СТОЛЬКО ТОЧЕК, СКОЛЬКО НУЛЕЙ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ
4. С ПОСЛЕДНЕЙ ТОЧКИ ЗАПИСЫВАЕМ ЧИСЛИТЕЛЬ
5. ОСТАВШИЕСЯ ТОЧКИ ЗАМЕНЯЕМ НУЛЯМИ
Десятичные дроби состоят из целой части и дробной
Разряды целой части числа
Разряды дробной части числа
тысячные
десятитысячные
стотысячные
миллионные
3
4
5
2
3
4
5
2
4
5
0
2
ПЯТЬ ЦЕЛЫХ ТРИ ДЕСЯТЫХ
ДВАЦАТЬ ОДНА ЦЕЛАЯ СЕМЬ СОТЫХ
ТРИ ЦЕЛЫХ СЕМЬ ДЕСЯТЫХ
ДВЕ ЦЕЛЫХ СТО ПЯТЬДЕСЯТ ШЕСТЬ ТЫСЯЧНЫХ
СЕМЬ ЦЕЛЫХ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТЬ СОТЫХ
ШЕСТЬ ЦЕЛЫХ ОДНА СОТАЯ
ПЯТЬ ЦЕЛЫХ ЧЕТЫРИ ТЫСЯЧНЫХ
ДЕВЯТЬ ЦЕЛЫХ ВОСЕМЬ ДЕСЯТИТЫСЯЧНЫХ
= 9,0008
НАЙДИТЕ И ЗАПИШИТЕ НЕДОСТАЮЩИЕ ЧИСЛА
Зарождение и развитие десятичных дробей
Узбекистан, XVвек
Европа, XVI век
Россия, XVIIIвек
Древний Китай, II век до н.э.
Зарождение и развитие десятичных дробей в Китае было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.
В 1427 году, математик
и астроном из Узбекистана ,
Ал-Каши написал книгу
«Ключ к арифметике»,
в которой сформулировал
основные
правила действий
с десятичными дробями
Узбекистан, XVвек
ЕВРОПА,
век
В 1579 году десятичные дроби применяются в "Математическом каноне" французского математика Франсуа Виета (1540-1603), опубликованном в Париже.
Широкое
распространение десятичных дробей
в Европе началось только после выхода в свет книги «Десятая» фламандского математика Симона Стевина (1548-1620 ). Его и считают изобретателем десятичных дробей.
Россия, XVIIIвек
В России первые
систематические сведения
о десятичных дробях
встречаются в “Арифметике”
Л.Ф.Магницкого (1703г.)
2,135436
2 | 135436
Узбекистан
Франция
Россия
Европа
1 цунь,
3 доли,
5 порядковых,
4 шерстинки,
3 тончайших,
6 паутинок
2,135436
Китай
2 135436
2 0 1 1 3 2 5 3 4 4 3 5 6 6
Вы, наверное, устали?
Ну, тогда все дружно встали.
Разминаем руки, плечи,
Чтоб сидеть нам было легче.
И ничуть не уставать.
проверьте
Запишите следующие дроби в виде десятичных дробей:
Запишите следующие дроби в виде обыкновенных дробей или смешанного числа:
Подведем итог:
- Какой дробью можно заменить обыкновенную дробь, знаменатель дробной части которой выражается единицей с одним или несколькими нулями?
- Чем отделяется целая часть десятичной дроби от
дробной части?
- Если дробь правильная, то что пишут перед
запятой пишут?
- Cтолько знаков должно быть после запятой в
записи десятичной дроби?
п 7.1;
ответить на вопросы
№ 1211,№1212
(на повт. №1216)
Предмет: математика Класс: 5
Тема урока: « Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей».
Цели урока:
обучающие: изучить понятие десятичных дробей, научиться читать и записывать десятичные дроби, сформировать умение чтения и записи десятичной дроби; развивающие: развивать логическое мышление, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание; воспитательные: воспитывать в учащихся трудолюбие, аккуратность, навыки самоконтроля, дружелюбия, взаимовыручки .
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: словесный, практический, индивидуальный.
План урока:
2. Устный опрос.
3.Разъяснение нового материала.
3. Рассмотрение примеров, устно.
4. Закрепление знаний.
5. Оценки за урок.
6. Постановка задания на дом.
Ход урока:
1. Орг.момент.
Здравствуйте ребята! Садитесь! (Заполняется журнал, отмечается отсутствующие учащиеся).
2. Устный опрос:
а) Какие мы с вами дроби изучили?
б) Какие бывают обыкновенные дроби?
в) Какие действия над обыкновенными дробями мы может выполнять?
Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми дробями – десятичными.
3. Изучение нового материала.
Среди обыкновенных дробей и смешанных чисел часто встречается дроби со знаменателем, кратным числу 10. Например, если выразить 9 мм в сантиметрах; 15м 2 39дм 2 – в квадратных метрах; 18 кг 327 г – в килограммах; 937895 мм 3 - в кубических метрах, то получим:
См; м 2 ; кг; м 3 .
Дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. записывается без знаменателя: =0,9; =15,39; =18,327; =0,937895.
0,9; 15,39; 18,327; 0,937895 - это десятичные дроби.
У них есть целая часть – число, стоящее до запятой, и дробная часть – она записана после запятой. Дробная часть отделяется от целой части запятой.
Смешанные числа и равные им десятичные дроби читаются одинаково.
Например 7 и 7,3 читают: семь целых три десятых.
Чтение обыкновенной и равной ей десятичной дроби различается.
Например,
Читают: семь десятых,
0,7 читают: нуль целых семь десятых.
Значит, при записи десятичных дробей, у которых отсутствует целая часть, записывают 0 перед дробной частью и читают «нуль целых».
В приведенных ниже примерах записи десятичных дробей оказалось, что в числителе обыкновенной дроби столько цифр, сколько нулей в знаменателе. Число цифр в числите и число нулей в знаменателе могут быть разными.
Например, запишем в виде десятичной дроби. В этом смешанном числе в числителе дробной части две цифры, в знаменателе три нуля. Поэтому вначале уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе: перед числителем припишем один нуль. Получим:
Тогда = = 23,071
Значит,
чтобы смешанное число или обыкновенную дробь, у которой знаменатель кратен 10, записать в виде десятичной дроби, надо:
Уравнять, если надо, число цифр в числителе и число нулей в знаменателе, приписав нули перед числителем;
Записать целую часть (она может равняться нулю);
Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной;
Записать числитель дробной части.
Например, = =0,007;14 = =14,000423
Десятичная дробь, как натуральное число, разбивается на разряды. Название разрядов целой части десятичной дроби такие же, как у натурального числа, а дробной части – другие. Первый справа от запятой разряд десятичной дроби называется десятые , следующий разряд - сотые , а затем – тысячные, стотысячные и т.д.
4. Решение на закрепление нового материала.
№697
Прочитайте десятичные дроби:
1)25,4
2)0,136
3)103,15
4)8,234
5)1,39
6)267,267
7)1015,1
8)307,3078
№698
Прочитайте десятичные дроби:
1)36,04
2)0,003
3)181,105
4)0,0809
5)200,7001
6)6,00081
№700
Запишите десятичные дроби:
1)три целых шестнадцать сотых
2)восемь целых три сотых
3)нуль целых три сотых
4)двадцать восемь целых семь стотысячных
5)четыреста целых пятнадцать миллионных
5. Итог урока объявить оценки за урок, записать д/з.
6. Домашнее задание: выучить правило и выполнить следующие номера:
№701 (9-16), №702
Урок в 5 классе, учитель-Шабаршова Екатерина Анатольевна.
Тема урока: Десятичные дроби. Чтение и запись десятичных дробей.
Задачи урока:
Создать условия для изучения и повторения данной темы учащимися;
Развитие памяти, логики, математического мышления;
Воспитание интереса к предмету.
Цель урока:
Повторить запись и чтение десятичных дробей;
преобразование десятичной дроби в обыкновенную и наоборот, обыкновенной дроби в десятичную.
Тип урока: комбинированный;
Метод обучения : словесный, практический, наглядный.
Форма организации : коллективная, индивидуальная;
Содержание деятельности : историческая справка, опрос с помощью сигнальных карточек(устно), решение заданий по учебнику, устный счет «Найди пару», самостоятельная работа.
Оборудование :сигнальные карточки, стикеры для рефлексии, карточки для самооценки, карточки с заданиями для самостоятельной работе.
План урока :
Организационный момент. Эмоциональный настрой.
Актуализация знаний. Историческая справка.
Устный счет «Найди пару».
Работа по учебнику
Самостоятельная работа.
Оценивание учащихся.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Ход урока:
Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! Давайте поприветствуем друг друга! Повернитесь лицом друг у другу и улыбнитесь.
Молодцы! И именно на этой приятной ноте, начнем наш сегодняшний урок!
Намеренное деление на группы в соответствии с индивидуальными особенностями учащихся.
Запишите дату в тетрадь, классная работа. Хочу обратить ваше внимание на раздаточный материал на ваших партах, стикеры пока уберем в сторонку, а листы оценивания вам пригодятся с первого задания, как только выполним очередное задание, вы должны в листах сделать самооценку при выполнении этого задания.
Актуализация знаний.
Ребята, на последних уроках мы с вами начали изучать тему «Десятичная дробь. Чтение и запись десятичной дроби». Но мы с вами начали изучать тему, не узнав ее истории, в этом нам поможет ученик нашего класса Шабаршов Анатолий, который подготовил для нас историческую справку.
Историческая справка.
Впервые понятие абстрактной десятичной дроби возникло в 15 ст. Его ввел видающийся математик и астроном ал – Коши (полное имя Джемиад ибн – Масуд ал – Коши ) в работе «Ключ к арифметике» (1427 г) . Открытие ал – Коши в Европе стало известным только через 300 лет.
Ничего, не зная об открытии ал – Коши, десятичные дроби открыл второй раз, приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде « Децималь» (1585 г).
В России учение о десятичных дробях впервые выдал Л.П. Магницкий в своей « Арифметике» - первом российском учебнике математике. (1703 г)
Отделять целую часть от дробной предлагали по – разному. Ал – Коши целую и дробную части писал в один ряд, хотя записывал разными чернилами, или ставил между ними вертикальную черту. С. Стевин для отделения целой части от дробной ставил нуль в кружочке. Принятую в наше время запятую предложил немецкий астроном Й. Кеплер (1571 – 1630).
А теперь давайте вспомним некоторые правила и свойства десятичных дробей.
Правила очень простые, если вы согласны с утверждением, то подымаете красную сигнальную карточку, если же нет, то синию. Начнем!
Для записи десятичных дробей используется дробная черта;(нет)
Для записи десятичных дробей используется запятая;(да)
Целая часть дроби находится перед запятой;(да)
Если в конце десятичной дроби отбросить нули, то значение дроби изменится;(нет)
Знаки стоящие после запятой называются десятичными знаками. (да).
2.Молодцы! А сейчас откройте учебники на странице 197, № 942.(работа у доски)
Устный счет «Найди пару»
0,1
0,5
0,2
0,75
0,04
0,05
Работа по учебнику.
№936 (1) – задание первого уровня сложности
№951 (1,2) – задание второго уровня сложности
№956(1-3) – задание третьего уровня сложности
Задания рассчитаны индивидуальные особенности всех участников группы
Самостоятельная работа.
Вариант 1
Запишите в виде десятичной дроби
; ; ;
Вариант 2
Запишите частное в виде обыкновенной дроби и переведите в десятичную
5: 100; 5749:100; 34:1000; 324:10.
Вариант 3
Приведите смешанные числа к знаменателю 100 и запишите соответствующие десятичные дроби
Задания в самостоятельной работе составлены с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Варианты соответствуют уровням сложности.
Оценивание учащихся.
Ученики выставляют себе самостоятельно оценки за урок в листах оценивания и сдают учителю.
Рефлексия.
Молодцы,ребята, сегодня все хорошо поработали, итак, давайте подведем итоги:
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Какие знания и умения вы закрепили сегодня на уроке?
Понравился вам урок?
Стикеры на столе, ученики записывают свое отношение к уроку и наклеивают на приготовленную доску объявлений.
Домашнее задание
№950,№945
ПРИЛОЖЕНИЯ
Задание №
Отлично
Хорошо
Смог(ла) бы лучше
Общая оценка за урок:
Лист оценивания уч-ка (цы):____________________________________________________
Задание №
Отлично
Хорошо
Смог(ла) бы лучше
Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.
Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.
Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 и др.
В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5 . 67 , 6789 . 1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.
Определение десятичных дробей
Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Определение 1
Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.
Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000 , 100 , 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 6 10 мы можем указать 0 , 6 , вместо 25 10000 – 0 , 0023 , вместо 512 3 100 – 512 , 03 .
О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.
Как правильно читать десятичные дроби
Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0 , 14 , которой соответствует 14 100 , читается как «ноль целых четырнадцать сотых».
Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56 , 002 , которой соответствует 56 2 1000 , мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».
Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0 , 7 семерка – это десятые доли, в 0 , 0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000 , 345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.
Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:
Разберем пример.
Пример 1
У нас есть десятичная дробь 43 , 098 . У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9 , тысячных – 8 .
Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10 -тысячных.
Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Пример 2
Попробуем разложить дробь 56 , 0455 по разрядам.
У нас получится:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56 + 0 , 0455 , или 56 , 0055 + 0 , 4 и др.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:
Определение 1
Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.
Примерами таких дробей могут быть 0 , 367 , 3 , 7 , 55 , 102567958 , 231 032 , 49 и др.
Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части). Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5 , 63 мы можем привести к виду 5 63 100 , а 0 , 2 соответствует 2 10 (или любая другая равная ей дробь, например, 4 20 или 1 5 .)
Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 5 13 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100 , 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.
Определение 2
Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.
Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0 , 143346732 … , 3 , 1415989032 … , 153 , 0245005 … , 2 , 66666666666 … , 69 , 748768152 … . и т.д.
В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.
Определение 3
Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
К примеру, для дроби 3 , 444444 … . периодом будет цифра 4 , а для 76 , 134134134134 … – группа 134 .
Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3 , 444444 … . правильно будет записать как 3 , (4) , а 76 , 134134134134 … – как 76 , (134) .
В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0 , 677777 – это то же самое, что 0 , 6 (7) и 0 , 6 (77) и т.д. Также допустимы записи вида 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) и др.
Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.
То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0 , 6 (7) , а, например, в случае с дробью 8 , 9134343434 будем писать 8 , 91 (34) .
Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2 , то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.
В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45 , 32 . В периодическом виде она будет выглядеть как 45 , 32 (0) . Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.
Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9 , например, 4 , 89 (9) , 31 , 6 (9) . Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0 , поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0) . Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.
К примеру, дробь 8 , 31 (9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8 , 32 (0) . Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .
Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.
Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.
Определение 4
К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.
Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9 , 03003000300003 … на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.
Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.
Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.
Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.
Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.
Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 14 10 – это то же самое, что и 1 , 4 , поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:
Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15 , 4008 , то мы предварительно представим это число в виде суммы 15 + 0 , 4 + , 0008 . Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15 , 4008 .
Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2 = 1 , 41421 . . . , и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.
Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.
Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.
Выше мы приводили рисунок с точкой M . Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1 , 4 .
Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Обыкновенную дробь (или смешанное число), у которой знаменатель является единицей с одним или более нулями (т. е. 10, 100, 1000 и т. д.):
можно записать в более простой форме: без знаменателя, разделяя целую и дробную части друг от друга запятой (при этом считают, что целая часть правильной дроби равна 0). Сначала записывается целая часть, затем ставится запятая, и после неё записывается дробная часть.:
Записанные в такой форме обыкновенные дроби (или смешанные числа) называются десятичными дробями .
Чтение и запись десятичных дробей
Десятичные дроби записывают по тем же правилам, по которым записывают натуральные числа в десятичной системе счисления. Это означает, что в десятичных дробях, как и в натуральных числах, каждая цифра выражает единицы, которые в десять раз больше соседних единиц, стоящих справа.
Рассмотрим следующую запись:
Цифра 8 означает простые единицы. Цифра 3 означает единицы, в 10 раз меньшие, чем простые единицы, т. е. десятые доли. 4 означает сотые доли, 2 - тысячные и т. д.
Цифры, которые стоят справа после запятой, называются десятичными знаками .
Читаются десятичные дроби следующим образом: сначала называется целая часть, затем – дробная. При чтении целой части, она всегда должна отвечать на вопрос: сколько целых единиц содержится в целой части? . К ответу добавляют слово целых (или целая), в зависимости от количества целых единиц. Например, одна целая, две целых, три целых и т. д. При чтении дробной части называется количество долей и в конце добавляют название тех долей, которыми дробная часть оканчивается:
3,1 читается так: три целых одна десятая.
2,017 читается так: две целых семнадцать тысячных.
Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведённые в ней примеры записи чисел:
Обратите внимание, после запятой в записи десятичной дроби получается столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби:
Загрузка...
