Характеристика основных понятий начального курса математики. Элементы алгебры в начальной школе

2. Математическое выражение и его значение.

3. Решение задач на основе составления уравнения.

Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих опера­ции (ответы), а их свойства.

Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе начальных классов состоит математики в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.

На сегодня наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой тенденции можно считать авторов альтернативных учебников системы Л.В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции мож­но считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину.

Учебник традиционной школы можно считать представителем «серединных» взглядов - он содержит достаточно много алгеб­раического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5-6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние 20 лет практически не расширяет список алгебраических понятий.

Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.

1. Математическое выражение и его значение

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.

Например:

3 + 2 - математическое выражение;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - математические выражения;

а + b; 7 - с; 23 - а 4 - математические выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.

Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 - не являются математическими выражениями, это неравенства.

Числовые выражения

Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.

В 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.

Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 - 5 + 7 = 32, где 32 - значение выражения.

Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 - сумма;

6 - 5 - разность;

7 6 - произведение; 63: 7 - частное.

Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы - слагаемые; компоненты разности - уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения - множители; компоненты деления - делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.

Следующий вид числовых выражений - выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются рань­ше, чем сложение и вычитание.

Последний вид числовых выражений - выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умноже­ния и деления, затем действия сложения и вычитания.

1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике.

2. Задачи изучения алгебраического материала.

3. Методика работы над алгебраическими понятиями.

4. Методика изучения математических выражений.

5. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

6. Методика обучения решению уравнений и задач алгебраическим способом.

7. Методика работы над неравенствами с переменной.

8. Функциональная пропедевтика в начальном обучении математике.

1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике

а) нахождение значений математических выражений;

б) решение уравнений и неравенств;

а) законы а×(b+c)=a×b+a×c;

б) зависимости, правила a+b=c

4. Развитие логического и теоретического мышления.

5. Подготовка к дальнейшему изучению математики.

Т.о. алгебраический материал выполняет вспомогательную функцию при изучении арифметического материала.

Хотя алгебраический материал занимает подчиненное арифметическому содержанию место, он обладает и некоторой самостоятельностью, которая, прежде всего, проявляется в последовательности введения элементов алгебры.

Какие алгебраические понятия вводятся в начальном курсе математики? Как они определяются в математике? (См. ос №22)

В начальном курсе математики ни одно из них не доводится до уровня формального определения. Следовательно, нельзя ставить вопрос: “Что называется..?”

Учащиеся должны: правильно понимать термин и правильно оперировать им в практической деятельности.

Понимать

Термин Объект

Применять

Работа по формированию алгебраических понятий ведётся поэтапно:

1. Подготовительная работа.

2. Введение понятия (термина).

3. Закрепление в практической деятельности.

Подготовительная работа включает оперирование соответствующими объектами без использования терминов. Например:

а) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) и тому подобное→для введения понятия “Математическое выражение”.

б) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

в) ? +4=6, а+4=6, х+4=12→уравнение.

Таким образом, на этапе подготовки идет накопление конкретных представлений, которые на следующем этапе обобщаются.

Алгебраические понятия вводятся:

а) контекстуально, то есть смысл нового термина выясняется из смысла отрывка текста. Например: ” Буква х (икс) обозначает неизвестное число. х+2=5— это уравнение. Решить уравнение — значит найти неизвестное число”.

б) остенсивно , когда объект просто называется и демонстрируется. Например: “Числовые математические выражения”.

При этом необходимо использовать сравнение, анализ, синтез, классификацию. Например: “Равенство — неравенство”.

Усвоение алгебраических понятий осуществляется в практической деятельности с конкретными их представителями.

Учащиеся учатся правильно понимать и применять соответствующие слова — термины.

Что значит изучать математические выражения? (см. ОС N22)

— обучение чтению и записи под диктовку или по тексту учебника;

— ознакомление с правилами порядка выполнения действий;

— составление выражений по задачам , по схемам;

— вычисление значений выражений;

— ознакомление с преобразованиями (тождественными) выражений;

— сравнение выражений.

Достаточно долгое время в психологии господствовало мнение, что элементы алгебры следует изучать не в начальных классах, а в старших в силу особенностей мышления младшего школьника, неспособности его к образованию абстракций боле высокого уровня. Однако такими видными психологами, как П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин и др., и педагогами - А.И.Меркушевич, А.М.Пышкало и др. было установлено, что дети 6-10лет при определенной организации обучения могут полноценно усвоить содержание некоторых алгебраических понятий. На основании этого алгебраический материал был включен в программу по математике для начальных классов в 1969г.

Младшие школьники при изучении элементов алгебры получают первоначальные сведения о числовых выражениях, числовых равенствах и неравенствах, неравенствах с переменной, выражениях с переменной, с двумя переменными, уравнениях.

Алгебраический материал изучается с 1 кл. в тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях, и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основные этапы изучения и содержание алгебраического материала

1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Числовое выражение -

1. всякое число есть числовое выражение.

2. если а и б – числовые выражения, то их сумма а+б, разность а-б, произведение а∙б и частное а:б также являются числовыми выражениями.

Значение числового выражения - это число, полученное в результате выполнения всех действий. указанных в числовом выражении.

Программой по математике предусматривается:

Познакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях,

Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

В методике ознакомления с ЧВ можно выделить 3 этапа:

1 этап . Ознакомление с выражениями, содержащими одно действие (сумма, разность, произведение, частное двух чисел).

Знакомство с первыми выражением – суммой - происходит в 1 кл. при изучении концентра «10».

1. Выполняя операции над множествами, дети прежде всего усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1,6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (чтение: к 5 прибавить 1, получится 6, из 6 вычесть 2, получится 4).

2. В дальнейшем понятие об этих действиях углубляется. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц.

(чтение: 5 увеличить на 1, 6 уменьшить на 2 ).

3. Затем дети узнают название знаков действий: «плюс», «минус»

(чтение: 5 плюс 1 ,6 минус 1 ).

4. Дети усваивают название компонентов ЧВ.

(чтение: 1 слагаемое. 5, 2 слагаемое 1, сумма равна 6).

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью (1 кл.), произведением и частным (2 кл.).

2 этап . Ознакомление с ЧВ, содержащими действия одной ступени .

Перед изучением выражений со скобками учащимся предлагаются выражения вида 8+1-7 10-5+4

В данных случаях сначала находится значение выражения, заключенное в овал, затем из полученного результата вычитается число, находящееся в квадрате. При этом учащиеся пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования (8+1-7=9-7=2).

Позднее вводятся скобки 6+4-1=(6+4)-1.

Формируется правило: действие, записанное в скобках, выполняется первым .

Для усвоения введенного правила включаются различные тренировочные упражнения. При этом дети учатся правильно читать и записывать данные выражения:

Запиши и вычисли: .

1. Из суммы чисел 9 и 7 вычесть 10.

2. К 10 прибавить разность чисел 9 и 7.

В дальнейшем вводится понятия числового выражения (остенсивное, путем показа) и значения числового выражения. 2 кл. с. 68

После этого дети читают или записывают выражения, находят их значения, сами составляют выражения.

Овладение новыми терминами позволяет им по-новому читать выражения (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.д.) 2 кл.с.58 № 1,2, 6; с.69 № 2.

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие выражения, имеют двоякий смысл, что раскрывается учащимся.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника

1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на «верные» и «неверные». Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни основе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, например: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и деление, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Затем вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях надо сначала выполнить по порядку действия умножения и деления, а затем сложение и вычитание, например: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в необходимости соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Они включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и деления и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?», а после введения неравенства – «Верны ли эти неравенства?».

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.